Μαθησιακά αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, ο φοιτητής / η φοιτήτρια θα είναι σε θέση να:
- Γνωρίζουν τον σημαντικό ρόλο των διαφορικών εξισώσεων.
- Τη δυνατότητα προτυποποίησης μέσω διαφορικών εξισώσεων συνήθων και μερικών.
- Αντιληφθούν τη σημασία των αναλυτικών και θεωρητικών μεθόδων στην επίλυση προβλημάτων και τη δυνατότητα αξιοποίησης του σχετικού λογισμικού.
Γενικές ικανότητες
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
- Προαγωγή της δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
Περιεχόμενο του μαθήματος
Στοιχειώδεις μη γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Γραμμικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Εισαγωγή στις Εφαρμογές διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού σε προβλήματα Φυσικής και στις Επιστήμες Μηχανικού. Γενική Θεωρία Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων και Εισαγωγή στη μοντελοποίηση απλών φυσικών προβλημάτων με συνήθεις διαφορικές Εξισώσεις. Γραμμικές συνήθεις Δ.Ε. ανώτερης τάξης: Ομογενείς και μη ομογενείς Δ.Ε. Οι μεθοδολογίες προσδιοριστέων συντελεστών και μεταβολής παραμέτρων (Lagrange) για την επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων. Ο υποβιβασμός τάξης ως τεχνική επίλυσης γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Συστήματα συνήθων Δ.Ε. Σχέση μεταξύ λύσεων συστημάτων Δ.Ε. και Δ.Ε. ανώτερης τάξης. Γραμμικά ομογενή και μη ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές. Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων. Η μέθοδος της γραμμικοποίησης. Λύση Δ.Ε. δεύτερης τάξης – μετά μεταβλητών συντελεστών – με τη μέθοδο των δυναμοσειρών. Ανάπτυξη λύσεων σε συνήθη και κανονικά ιδιάζοντα σημεία. Ειδικές Συναρτήσεις και εφαρμοσιμότητα αυτών. Μετασχηματισμός Laplace. Ιδιότητες και αντιστροφή του μετασχηματισμού Laplace. Συνέλιξη και εφαρμογές στη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών και συστημάτων Δ.Ε. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή στην προτυποποίηση φυσικών διεργασιών και προβλημάτων της Επιστήμης Μηχανικού με μερικές διαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή στις Μ.Δ.Ε. 1ης τάξης. Ταξινόμηση Μ.Δ.Ε. 2ης τάξης σε προβλήματα ελλειπτικού, παραβολικού και υπερβολικού τύπου. Προβλήματα Sturm-Liouville και γενικευμένες σειρές Fourier. Ανάπτυξη της μεθοδολογίας του χωρισμού μεταβλητών σε καρτεσιανές, πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Εφαρμογή του χωρισμού μεταβλητών στην επίλυση συνοριακών προβλημάτων για τις Μ.Δ.Ε. Laplace και Poisson, και προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών για την εξίσωση διάχυσης και την κυματική εξίσωση. Εισαγωγή σε θεμελιώδεις λύσεις και συναρτήσεις Green. Μετασχηματισμοί Fourier και Hankel. Επίλυση προβλημάτων άπειρων και ημιάπειρων χωρίων με χρήση ολοκληρωτικών μετασχηματισμών.
Αξιολόγηση φοιτητών
Ενδιάμεση αξιολόγηση και γραπτή τελική εξέταση.
Συνιστώμενη βιβλιογραφία
- Ιωάννης Γεωργούδης, Αριστείδης Μακρυγιάννης, Νικόλαος Πρεζεράκος (2016). Μαθηματικά για Μηχανικούς-Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών-Διαφορικές Εξισώσεις. Σύγχρονη Εκδοτική Ε.Π.Ε.
- Boyce,W. And Di Prima, R. (2015). Στοιχειώδεις διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα συνοριακών τιμών. Παν. Εκδόσεις Ε.Μ.Π.